《习题课 三角恒等变换的应用》三角函数PPT
第一部分内容：课标阐释
1.能够运用三角函数公式对函数解析式进行化简,以研究函数的性质.
2.能够运用三角函数公式解决求值与化简问题.
3.掌握三角恒等变换在实际问题中的应用.
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习题课三角恒等变换的应用PPT，第二部分内容：自主预习
一、降幂和升幂公式
1.填空
(1)降幂公式:sin2α=(1"-" cos2α)/2,cos2α=(1+cos2α)/2,sin αcos α=1/2sin 2α.
(2)升幂公式:1+cos α=2cos2α/2,1-cos α=2sin2α/2.
2.做一做
(1)函数y=sin(2x+π/3)cos(2x+π/3)的最小正周期为( )
A.2π B.π C.π/2 D.π/4
(2)函数f(x)=cos2(x+π/4),x∈R,则f(x)( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数,也是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
解析:(1)因为y=sin(2x+π/3)cos(2x+π/3)
=1/2sin(4x+2π/3),所以最小正周期为2π/4=π/2.
(2)∵f(x)=(1+cos(2x+π/2))/2=1/2-1/2sin 2x,x∈R,
∴f(-x)=1/2-1/2sin 2(-x)=1/2+1/2sin 2x.
∴f("-" π/4)=1/2+1/2sin π/2=1,
f(π/4)=1/2-1/2sin π/2=0,
∴f("-" π/4)≠f(π/4),f("-" π/4)≠-f(π/4).
∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
答案:(1)C (2)D
二、辅助角公式
1.填空
asin x+bcos x=√(a^2+b^2 )sin(x+φ)
("其中" sinφ=b/√(a^2+b^2 ) "," cosφ=a/√(a^2+b^2 ) "," tanφ=b/a).
2.做一做
(1)若函数f(x)=sin x+3cos x,x∈R,则f(x)的值域是( )
A.[1,3] B.[1,2]
C.[-√10,√10] D.[0,√10]
(2)函数f(x)=sin x-√3cos x(x∈[-π,0])的单调递增区间是( )
A.["-" π",-" 5π/6] B.["-" 5π/6 ",-" π/6] C.["-" π/3 "," 0] D.["-" π/6 "," 0]
解析:(1)因为f(x)=sin x+3cos x=√10sin(x+φ)(其中tan φ=3),所以函数f(x)=sin x+3cos x,x∈R,则f(x)的值域是[-√10,√10].
(2)f(x)=2(1/2 sinx"-" √3/2 cosx)=2sin(x"-" π/3),令2kπ-π/2≤x-π/3≤2kπ+π/2,k∈Z,得2kπ-π/6≤x≤2kπ+5π/6,k∈Z.
又x∈[-π,0],
∴x∈["-" π/6 "," 0].
答案:(1)C (2)D
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习题课三角恒等变换的应用PPT，第三部分内容：规范解答
三角恒等变换与三角函数性质的综合应用
典例 已知函数f(x)=sin(π/2 "-" x)sin x-√3cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值;
(2)讨论f(x)在[π/6 "," 2π/3]上的单调性.
【审题策略】 先利用三角恒等变换将函数f(x)的解析式化成f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式,然后确定其性质.
【规范展示】 解:(1)f(x)=sin(π/2 "-" x)sin x-√3cos2x=cos xsin x-√3/2(1+cos 2x)
=1/2sin 2x-√3/2cos 2x-√3/2=sin(2x"-" π/3)-√3/2,
因此f(x)的最小正周期为π,最大值为(2"-" √3)/2.
(2)当x∈[π/6 "," 2π/3]时,0≤2x-π/3≤π,从而当0≤2x-π/3≤π/2,即π/6≤x≤5π/12时,f(x)单调递增;当π/2<2x-π/3≤π,即5π/12<x≤2π/3时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在[π/6 "," 5π/12]上单调递增;在[5π/12 "," 2π/3]上单调递减.
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习题课三角恒等变换的应用PPT，第四部分内容：随堂演练
1.(多选题)已知函数f(x)=sin(x+π/6)cos(x+π/6),则下列判断不正确的是( )
A.f(x)的最小正周期为π/2
B.f(x"-" π/6)是奇函数
C.f(x)的一个对称中心为(π/6 "," 0)
D.f(x)的一条对称轴为x=π/6
解析:因为f(x)=sin(x+π/6)cos(x+π/6)=1/2sin(2x+π/3),所以f(x"-" π/6)=1/2sin 2x,所以f(x"-" π/6)是奇函数.
答案:ACD
2.函数y=cos(x+π/2)+sin(π/3 "-" x)具有性质( )
A.最大值为1,图象关于点(π/6 "," 0)对称
B.最大值为√3,图象关于点(π/6 "," 0)对称
C.最大值为1,图象关于直线x=π/6对称
D.最大值为√3,图象关于直线x=π/6对称
解析:∵y=-sin x+√3/2cos x-1/2sin x
=-√3 (√3/2 sinx"-" 1/2 cosx)=-√3sin(x"-" π/6),
∴最大值为√3,图象关于点(π/6 "," 0)对称.
答案:B
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