《习题课 单调性与奇偶性的综合应用》函数的概念与性质PPT
第一部分内容：课标阐释
1.理解函数奇偶性与单调性的关系.
2.能运用函数的单调性与奇偶性等解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题.
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习题课单调性与奇偶性的综合应用PPT，第二部分内容：自主预习
奇、偶函数在对称区间上的单调性
1.(1)已知函数y=f(x)在R上是奇函数,且在(0,+∞)是增函数.那么y=f(x)在它的对称区间(-∞,0)上单调性如何?
提示:奇函数的图象关于坐标原点对称,所以在两个对称的区间上单调性相同.即y=f(x)在它的对称区间(-∞,0)上单调递增.
(2)你能用函数单调性的定义证明上面的结论吗?
提示:∀x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,则-x1>-x2>0,
∵y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴f(-x1)>f(-x2).
∵y=f(x)在R上是奇函数,
∴f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2),
∴-f(x1)>-f(x2),∴f(x1)<f(x2).
∴函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(3)已知函数y=f(x)在R上是偶函数,且在(0,+∞)是减函数,y=f(x)在它的对称区间(-∞,0)上是增函数还是减函数?
提示:偶函数的图象关于y轴对称,所以在两个对称的区间上单调性相反.即y=f(x)在它的对称区间(-∞,0)上单调递增.
(4)你能用函数单调性的定义证明上面的结论吗?
提示:∀x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,则-x1>-x2>0,
∵y=f(x)在(0,+∞)上是减函数,
∴f(-x1)<f(-x2).
∵y=f(x)在R上是偶函数,
∴f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2),
∴f(x1)<f(x2).
∴函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数.
2.填空
(1)若函数f(x)是奇函数,且f(x)在区间[a,b]上是单调函数,则f(x)在其对称区间[-b,-a]上也是单调的,且单调性相同.
(2)若函数f(x)是偶函数,且f(x)在区间[a,b]上是单调函数,则f(x)在其对称区间["−" 𝑏",−" 𝑎]上也是单调的,且单调性相反.
3.做一做
(1)若奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,则它在[2,6]上是( )
A.增函数且最小值是-1 B.增函数且最大值是-1
C.减函数且最大值是-1 D.减函数且最小值是-1
解析:∵奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,∴函数f(x)在[2,6]上是减函数且最大值是-1.
答案:C
(2)若偶函数f(x)在(-∞,0]上是增函数,则f(-5),f( ),f(-2),f(4)的大小关系为___________________________.
解析:因为f(x)是偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,所以f(x)在[0,+∞)上是减函数,且f(-5)=f(5),f(-2)=f(2).因为√3<2<4<5,所以f(5)<f(4)<f(2)<f(√3).故f(-5)<f(4)<f(-2)<f(√3).
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习题课单调性与奇偶性的综合应用PPT，第三部分内容：探究学习
应用函数的单调性与奇偶性判定函数值的大小
例1 已知偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是( )
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)<f(-3)<f(-2)
D.f(π)<f(-2)<f(-3)
解析:∵f(x)在R上是偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).∵2<3<π,且f(x)在区间[0,+∞)上为增函数,∴f(2)<f(3)< f(π),
∴f(-2)<f(-3)<f(π).故选A.
答案:A
反思感悟应用函数的单调性与奇偶性判断函数值的大小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较.
延伸探究(1)若将本例中的“增函数”改为“减函数”,其他条件不变,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系如何?
(2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,比较这三个数的大小.
解:(1)因为当x∈[0,+∞)时,f(x)是减函数,所以有f(2)>f(3)>f(π).又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)>f(-3)>f(π).
(2)因为函数为定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上为增函数,所以函数在R上是增函数,
因为-3<-2<π,所以f(-3)<f(-2)<f(π).
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习题课单调性与奇偶性的综合应用PPT，第四部分内容：思维辨析
判断抽象函数的奇偶性
典例已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),求证:函数f(x)为奇函数.
证明:由题意可知,函数的定义域为R,关于原点对称.
令a=0,则f(b)=f(0)+f(b),∴f(0)=0.
又令a=-x,b=x,代入,得f(-x+x)=f(-x)+f(x),即0=f(-x)+f(x),∴f(-x)=-f(x),
∴函数f(x)为奇函数.
反思感悟 判断抽象函数的奇偶性主要是利用赋值法,并结合已知条件寻找f(-x)与f(x)的关系,从而得出结论.
变式训练已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)·f(x2),
求证:函数f(x)为偶函数.
证明:令x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x).①
令x2=0,x1=x,得f(x)+f(x)=2f(0)f(x).②
由①②得f(x)+f(-x)=f(x)+f(x),即f(-x)=f(x),
所以函数f(x)为偶函数.
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习题课单调性与奇偶性的综合应用PPT，第五部分内容：随堂演练
1.若f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且f(4)>f(1),则下列各式一定成立的是( )
A.f(0)<f(6) B.f(4)>f(3) C.f(2)>f(0) D.f(-1)<f(4)
解析:∵f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,
∴f(-1)=f(1).又f(4)>f(1),f(4)>f(-1).
答案:D
2.若f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则( )
A.f("-" 3/2)<f(-1)<f(2)
B.f(-1)<f("-" 3/2)<f(2)
C.f(2)<f(-1)<f("-" 3/2)
D.f(2)<f("-" 3/2)<f(-1)
解析:∵f(-x)=f(x),∴f(2)=f(-2),
∵-2<-3/2<-1,又f(x)在(-∞,-1]上是增函数,∴f(-2)<f("-" 3/2)<f(-1).故选D.
答案:D
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