《复数的三角表示》复数PPT课件(复数乘、除运算的三角表示及其几何意义)
第一部分内容：内容标准
1.了解复数乘、除运算的三角表示．
2.了解复数乘、除运算的几何意义．
3.会利用复数三角形式进行复数乘、除运算.
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复数的三角表示PPT，第二部分内容：课前 • 自主探究
[教材提炼]
知识点一 复数三角形式的乘法、除法法则
预习教材，思考问题
若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，你能根据复数的乘法运算计算z1z2，并将结果表示成三角形式吗？
知识梳理 设复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，
z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2.
知识点二 复数三角形式的乘法、除法几何意义
知识梳理 复数z1，z2对应的向量分别为OZ1→，OZ2→
①复数乘法的几何意义：
两个复数z1，z2相乘时，如图，把向量OZ1→绕点O按______方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ1→绕点O按______方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的______倍，得到向量OZ→，OZ→表示的复数就是______ .这是复数乘法的几何意义．
②复数除法的几何意义：
两个复数z1，z2相除时，如图，把向量OZ1→绕点O按______方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ1→绕点O按______方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的______倍，得到向量OZ→，OZ→表示的复数就是商z1z2.这是复数除法的几何意义．
[自主检测]
1．复数z＝(cos 25°＋isin 25°)(cos 50°＋isin 50°)的三角形式是( )
A．cos (－25°)＋isin (－25°)
B．sin 75°＋icos 75°
C．cos 15°＋isin 15°
D．cos 75°＋isin 75°
2．计算：3(cos π3＋isin π3)÷2(cos 5π6＋isin 5π6)＝_________.(用代数形式表示)
3．将复数1＋i对应的向量OM→绕点O按逆时针方向旋转π4，得到的向量为OM1→，那么OM1→对应的复数是________(用代数形式表示)．
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复数的三角表示PPT，第三部分内容：课堂 • 互动探究
探究一 复数三角形式的乘法运算
[例1] 计算下列各式：
(1)16(cos4π3＋isin4π3)×4(cos5π6＋isin5π6)；
(2) 3(cos 20°＋isin 20° )[2(cos 50°＋isin 50°)]
[10(cos 80°＋isin 80° )]；
(3)(－1＋i)[3(cos 7π4＋isin 7π4)] .
[分析] 代入复数三角形式的乘法法则计算即可．
方法提升
复数三角形式的乘法运算
(1)直接利用复数三角形式的乘法法则：模数相乘，辐角相加．
(2)若遇到复数的代数形式与三角形式混合相乘时，需将相混的复数统一成代数形式或三角形式，然后进行复数的代数形式相乘或三角形式相乘．
探究二 复数三角形式的除法运算
[例2] (1) 计算：
4(cos 80°＋isin 80°)÷2(cos 320°＋isin 320°)；
(2)已知复数z＝r(cos θ＋isin θ)，r≠0，求1z的三角形式．
方法提升
复数三角形式的除法运算
(1)利用复数三角形式的除法法则：模数相除，辐角相减．
(2)一个非零复数的倒数，其模是原来复数的模的倒数，其辐角是原来复数辐角的相反数．
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复数的三角表示PPT，第四部分内容：课后 • 素养培优
数形结合思想在复数三角形式的乘除运算中的应用
直观想象、逻辑推理、数学运算
复数的三角形式，就是形的的体现．利用数形结合和除法的几何意义来解决三角形中角的大小问题，使问题变得简单、方便．
[典例] 若向量OZ1→与OZ2→分别表示复数z1＝1＋23i，z2＝7＋3i, 则∠Z2OZ1＝________.
[审题视角] 先作出向量OZ1→与OZ2→，根据图形，将∠Z2OZ1转化为复数z1与z2的辐角的差，再借助复数除法的几何意义转化为z1z2的辐角主值．
[素养提升] 本题是复数与角的大小之间的关系，因此考虑复数三角形式的乘除运算的几何意义，需要画出复数对应的向量，借助图形，将∠Z2OZ1转化为复数z1与z2的辐角的差．利用数形结合和除法的几何意义来解决三角形中角的大小问题，使问题变得简单、方便．
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