《对数与对数函数》指数函数、对数函数与幂函数PPT(对数函数的性质与图像)
第一部分内容：课标阐释
1.理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型.
2.会用信息技术作对数函数的图像.
3.通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系.
4.熟练掌握对数函数的图像与性质.
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对数与对数函数PPT，第二部分内容：课前篇自主预习
一、对数函数的定义
1.指数式ab=N如何化为对数式?
提示:根据指数式与对数式的互化关系可知logaN=b.
2.在logaN=b(a>0,且a≠1)这一关系式中,若把N看成自变量,b看成函数值,你能得到一个具有什么特征的函数?
提示:可以得到函数y=logax(a>0,且a≠1),此类函数的特征是以真数作为自变量,对数值作为函数值.这类函数就是本节将要研究的对数函数.
3.填空.
一般地,函数y=logax(a>0,a≠1)称为对数函数.
二、对数函数y=logax(a>0,a≠1,x>0)的图像与性质
1.利用描点法作出函数y=log2x与函数y=log3x的图像,进而研究一下函数y=logax(a>0,a≠1,x>0)的底数变化对图像位置有何影响.
提示:在同一平面直角坐标系中,分别作出函数y=log2x及y=log3x的图像,如图所示,可以看出:底数越大,图像越靠近x轴.同理,当0<a<1时,底数越小,函数图像越靠近x轴.利用这一规律,我们可以解决真数相同,对数不等时底数大小的问题.
类似地,在同一平面直角坐标系中分别作出y=logax(a>1)及y=logax(0<a<1)的图像.如右图所示,它们的图像在第一象限的规律是:直线x=1把第一象限分成两个区域,每个区域里对数函数的底数都是由左向右逐渐增大.比如,C1,C2,C3,C4分别对应y=log_(𝑎_1 )x,y=log_(𝑎_2 )x,y=log_(𝑎_3 )x,y=log_(𝑎_4 )x,则必有a4>a3>1>a2>a1>0.
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对数与对数函数PPT，第三部分内容：课堂篇探究学习
求对数函数的定义域
例1 (1)函数f(x)=√(x+1)+ln(4-x)的定义域为( )
A.[-1,4) B.(-1,+∞) C.(-1,4) D.(4,+∞)
(2)函数y=loga√(x"-" 1)(a>0,a≠1)的定义域为 .
反思感悟求对数函数定义域的步骤
对数函数的图像及应用
例2作出函数f(x)=|lo g3x|的图像,并求出其值域、单调区间以及在区间[1/9 "," 6]上的最大值.
解:f(x)=|log3x|={■(log_3 x"," x≥1"," @"-" log_3 x"," 0<x<1"," )┤所以在[1,+∞)内f(x)的图像与y=log3x的图像相同,在(0,1)内f(x)的图像与y=log3x的图像关于x轴对称,据此可画出其图像如图所示.
从图像可知,函数f(x)的值域为[0,+∞),递增区间是[1,+∞),递减区间是(0,1).
当x∈[1/9 "," 6]时,f(x)在[1/9 "," 1]上是单调递减的,在(1,6]上是单调递增的.
又f(1/9)=2,f(6)=log36<2,故f(x)在[1/9 "," 6]上的最大值为2.
反思感悟与对数函数有关的图像问题注意以下规律:
(1)一般地,函数y=-f(x)与y=f(x)的图像关于x轴对称,函数y=f(-x)与y=f(x)的图像关于y轴对称,函数y=-f(-x)与y=f(x)的图像关于原点对称.
利用上述关系,可以快速识别一些函数的图像.
(2)与对数函数有关的一些对数型函数,如y=logax+k,y=loga|x|,y=|logax+k|等,其图像可由y=logax的图像,通过平移变换、对称变换或翻折变换得到.
延伸探究将以上例题中的函数改为“f(x)=|log3(x+1)|”再研究以下问题.
(1)作出函数图像,并写出函数的值域及单调区间;
(2)若方程f(x)=k有两解,求实数k的取值范围.
解:(1)函数f(x)=|log3(x+1)|的图像如图所示.
由图像知,其值域为[0,+∞),f(x)在(-1,0]上是减少的,在[0,+∞)内是增加的.
(2)由(1)的图像知,当k>0时,方程f(x)=k有两解,故k的取值范围是(0,+∞).
利用对数函数的性质比较大小
例3 比较大小:
(1)log0.27与log0.29;
(2)log35与log65;
(3)(lg m)1.9与(lg m)2.1(m>1);
(4)log85与lg 4.
解:(1)log0.27和log0.29可看作是函数y=log0.2x,当x=7和x=9时对应的两个函数值,由y=log0.2x在(0,+∞)上是减函数,得log0.27>log0.29.
(2)函数y=log3x(x>1)的图像在函数y=log6x(x>1)的图像的上方,故log35>log65.
(3)把lg m看作指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的底数,要比较两数的大小,关键是比较底数lg m与1的关系.
若lg m>1,即m>10,则y=(lg m)x在R上是增函数,故(lg m)1.9<(lg m)2.1;若0<lg m<1,即1<m<10,则y=(lg m)x在R上是减函数,故(lg m)1.9>(lg m)2.1;若lg m=1,即m=10,则(lg m)1.9=(lg m)2.1.
(4)因为底数8,10均大于1,且10>8,
所以log85>lg 5>lg 4,即log85>lg 4.
反思感悟1.如果两个对数的底数相同,则由对数函数的单调性(当底数a>1时,函数为增函数;当底数0<a<1时,函数为减函数)比较.
2.如果两个对数的底数和真数均不相同,那么通常引入中间值进行比较.
3.如果两个对数的底数不同而真数相同,如y1=log_(a_1 )x与y2=log_(a_2 )x的大小比较(a1>0,a1≠1,a2>0,a2≠1),
(1)当a1>a2>1时,根据对数函数图像的变化规律知当x>1时,y1<y2;当0<x<1时,y1>y2.
(2)当0<a2<a1<1时,根据对数函数图像的变化规律知当x>1时,y1<y2;当0<x<1时,y1>y2.
对于含有参数的两个对数值的大小比较,要注意根据对数的底数是否大于1进行分类讨论.
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对数与对数函数PPT，第四部分内容：思维辨析
因忽视真数的取值范围而致误
典例 解不等式loga(2x-5)>loga(x-1).
错解一由2x-5>x-1,得x>4,故原不等式的解集为{x|x>4}.
错解二由{■(2x"-" 5>0"," @x"-" 1>0"," @2x"-" 5>x"-" 1"," )┤
解得x>4,故原不等式的解集为{x|x>4}.
错解三原不等式可等价变形为{■(2x"-" 5>0"," @x"-" 1>0"," @2x"-" 5>x"-" 1"," )┤
解得x>4.
所以当a>1时,原不等式的解集为{x|x>4};
当0<a<1时,原不等式的解集为{x├|5/2<x<4}┤.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你怎么防范?
提示:错解一中没考虑真数的取值范围,也没有对a进行分类讨论;错解二中没有对a进行分类讨论;错解三中出现逻辑性错误,运算变形的顺序出现了问题,即开始默认了a>1对原不等式进行了转化是不正确的,虽然后来对a又进行了讨论,看起来结果正确,而实际上解答过程是错误的.
防范措施1.在解决含有对数式的方程或不等式时,一定要注意底数及真数的限制条件,一般要有检验的意识.
2.当对数的底数含参数时,不能直接化简原式,需要对参数进行分类讨论,做到不重复、不遗漏.
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对数与对数函数PPT，第五部分内容：当堂检测
1.设0<x<1,且有logax<logbx<0,则a,b的大小关系是 ( )
A.0<a<b<1 B.1<a<b
C.0<b<a<1 D.1<b<a
答案:B
解析:结合对数函数的图像及其性质可知b>a>1.
2.方程log2(x+2)=x2的实数解有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案:C
解析:在同一平面直角坐标系中分别画出y=log2(x+2)与y=x2的图像,如图所示.由图像观察知,二者有两个交点,所以方程log2(x+2)=x2有两个解.
3.函数f(x)=log2(3x2-2x-1)的单调增区间为_________.
答案:(1,+∞)
解析:由3x2-2x-1>0,得x<-1/3或x>1,
即f(x)的定义域为("-∞,-" 1/3)∪(1,+∞).
令u(x)=3x2-2x-1=3(x"-" 1/3)^2-4/3,其函数图像的对称轴为x=1/3,
所以[1/3 "," +"∞" )是u(x)的单调增区间.
结合函数的定义域可知,f(x)的单调增区间为(1,+∞).
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