《指数函数与对数函数的关系》指数函数、对数函数与幂函数PPT
第一部分内容：课标阐释
1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,弄清它们的图像间的对称关系.
2.会求简单函数的反函数.
3.能综合利用指数函数、对数函数的性质与图像解决一些问题.
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指数函数与对数函数的关系PPT，第二部分内容：课前篇自主预习
一、反函数的概念
1.(1)已知一次函数y=2x-1,你能从方程的角度把x用y表示出来吗?
提示:由y=2x-1得2x=y+1,即x=1/2y+1/2.
(2)y=1/2x+1/2与x=1/2y+1/2两个等式有何区别和联系？
提示:如果把第一个等式中的x看成自变量,第二个等式中的y看成自变量,那么它们表示同一个函数,只是字母符号不一致.但如果都看成y关于x的函数,那么这两个等式中的x,y是互换的,且x=1/2y+1/2是由y=2x-1转化而来,因此y=2x-1与y=1/2x+1/2不是同一函数.
2.填空.
(1)反函数的定义
一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有
唯一的x与之对应,那么x是y的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数.
(2)反函数的记法
函数y=f(x)的反函数通常用y=f-1(x)表示.
(3)互为反函数的性质
①y=f(x)的定义域与y=f-1(x)的值域相同.
②y=f(x)的值域与y=f-1(x)的定义域相同.
③y=f(x)与y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称.
二、指数函数与对数函数的关系
1.函数y=ax(a>0,且a≠1)与函数y=logax(a>0,且a≠1)的解析式有何内在联系?
提示:根据对数式与指数式的互化可知y=ax可化为对数式“x=logay”,再将等式“x=logay”中的x,y互换,也就形成了对数函数y=logax,从这一内在联系可以看出y=ax与y=logax的定义域和值域是互换的.
2.函数y=ax(a>0,且a≠1)与函数y=logax(a>0,且a≠1)的单调性有一致性吗?
提示:当0<a<1时,上述两个函数均是其定义域上的减函数;当a>1时,上述两个函数均是其定义域上的增函数.因此单调性具有一致性,但变化速度有差异.
3.填空.
(1)关系
指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)互为反函数.
(2)图像特征
指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图像关于直线y=x对称.
4.做一做:若函数y=log3x+1的反函数的定义域为(3,+∞),则此函数的定义域为 .
答案:(9,+∞)
解析:函数y=log3x+1的反函数的定义域为(3,+∞),也即这个函数的值域为(3,+∞),
所以log3x+1>3,即log3x>2,所以x>9.
所以此函数的定义域为(9,+∞).
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指数函数与对数函数的关系PPT，第三部分内容：课堂篇探究学习
求反函数
例1求下列函数的反函数:
(1)y=log2x; (2)y=(1/3)^x; (3)y=5x+1.
分析:按照求反函数的基本步骤求解即可.
解:(1)由y=log2x,得x=2y,
反思感悟求函数的反函数的主要步骤:
(1)从y=f(x)中解出x=φ(y);
(2)x,y互换;
(3)标明反函数的定义域(即原函数的值域),简记为“一解、二换、三写”.
变式训练1求函数y=2x+1(x<0)的反函数.
解:由y=2x+1,得2x=y-1,
∴x=log2(y-1),∴y=log2(x-1).
又∵x<0,∴0<2x<1,
∴1<2x+1<2.
∴所求函数的反函数为y=log2(x-1)(1<x<2).
指数函数与对数函数图像的关系
例2 (1)已知a>0,且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图像只能是( )
(2)将y=2x的图像( ),再作关于直线y=x对称的图像,可得到函数y=log2(x+1)的图像.
A.先向上平行移动1个单位长度
B.先向右平行移动1个单位长度
C.先向左平行移动1个单位长度
D.先向下平行移动1个单位长度
解析:(1)方法一:首先,曲线y=ax只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面,从而排除A,C.
其次,从单调性着眼.y=ax与y=loga(-x)的单调性正好相反,又可排除D.故选B.
方法二:若0<a<1,则曲线y=ax下降且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)上升且过点(-1,0),所有选项均不符合这些条件.
若a>1,则曲线y=ax上升且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)下降且过点(-1,0),只有B满足条件.
方法三:如果注意到y=loga(-x)的图像关于y轴的对称图像为y=logax,又y=logax与y=ax互为反函数(图像关于直线y=x对称),则可直接选B.
(2)本题是关于图像的平移变换和对称变换,可求出解析式或利用几何图形直观推断.
反思感悟互为反函数的图像特点:
(1)互为反函数的图像关于直线y=x对称;图像关于直线y=x对称的两个函数互为反函数.
(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致.
(3)若一奇函数有反函数,则它的反函数也是奇函数.
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指数函数与对数函数的关系PPT，第四部分内容：思维辨析
因对反函数定义理解:不清而致误
典例 已知函数y=f(x+1)与函数y=g(x)的图像关于直线y=x对称,且g(x)的图像过定点(1,2 018),则y=f-1(x+1)的图像过定点 .
错解:∵g(x)的图像过定点(1,2 018),
∴y=f(x+1)的图像过定点(2 018,1).
∴y=f-1(x+1)的图像过定点(1,2 018).
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你怎么防范?
提示:错解过程是误认为f(x+1)与f-1(x+1)互为反函数,实际上是f(x)与f-1(x)互为反函数,对此不能对自变量x随意变化拓展.
正解:∵g(x)的图像过定点(1,2 018),
∴f(x+1)的图像过定点(2 018,1).
又∵f(x)的图像可以看作由f(x+1)的图像向右平移1个单位长度得到的,∴f(x)过定点(2 019,1).
又∵f(x)与f-1(x)互为反函数,∴f-1(x)的图像过定点(1,2 019).再结合f-1(x)与f-1(x+1)的关系可知,f-1(x+1)的图像过定点(0,2 019).
防范措施1.防止以上错误的产生,首先要明确反函数的求解原则和步骤,并且要清楚f(x)与f-1(x)是互为反函数的本质是等式中的x,y进行了互换.
2.对于复合函数f(x+1)的函数的求解,可将“x+1”看成整体来对待,即由y=f(x+1)可初步得x+1=f-1(y),即y=f-1(x)-1才是y=f(x+1)的反函数.
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指数函数与对数函数的关系PPT，第五部分内容：当堂检测
1.函数y=log_(1/2)x(x>0)的反函数是( )
A.y=x^(1/2),x>0 B.y=(1/2)^x,x∈R
C.y=x2,x∈R D.y=2x,x∈R
答案:B
2.函数y=x+2(x∈R)的反函数为( )
A.x=2-y B.x=y-2
C.y=2-x(x∈R) D.y=x-2(x∈R)
答案:D
解析:由y=x+2(x∈R),得x=y-2(x∈R).互换x,y,得y=x-2(x∈R).
3.已知函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),如果函数y=f(x)的图像过点(1,0),那么函数y=f-1(x)+1的图像过点( )
A.(0,0) B.(0,2) C.(1,1) D.(2,0)
答案:B
解析:∵y=f(x)的图像过点(1,0),
∴其反函数y=f-1(x)的图像必过点(0,1),
即f-1(0)=1,∴y=f-1(x)+1的图像过点(0,2).
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