《指数》指数函数与对数函数PPT
课标阐释
1.理解n次方根及根式的概念,掌握根式的性质.
2.能利用根式的性质对根式进行运算.
3.理解分数指数幂的含义,掌握根式与分数指数幂的互化.
4.掌握实数指数幂的运算性质,并能对代数式进行化简或求值.
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自主预习
一、n次方根
1.我们在初中学习了平方根、立方根,有没有四次方根、五次方根、……、n次方根呢?
(1)什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个?立方根呢?
提示:根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如4的平方根为±2,负数没有平方根,一个数的立方根只有一个,如-8的立方根为-2;零的平方根、立方根均为零.
(2)类比a的平方根及立方根的定义,如何定义a的n次方根?
提示:n次方根:如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.
2.填空:
3.做一做:
用根式表示下列各式.
(1)已知x5=2 019,则x=___________;
(2)已知x4=2 019,则x=___________.
二、根式
1.(1)类比平方根、立方根,猜想:当n为偶数时,一个数的n次方根有多少个?当n为奇数时呢?
提示:a为正数:{■(n"为奇数," a"的" n"次方根有一个,为" √(n&a) "," @n"为偶数," a"的" n"次方根有两个,为" ±√(n&a) ";" )┤
a为负数:{■(n"为奇数," a"的" n"次方根只有一个,为" √(n&a) "," @n"为偶数," a"的" n"次方根不存在;" )┤
零的n次方根为零,记为√(n&0)=0.
(2)根据n次方根的意义,可知(√(n&a))n=a肯定成立,那么等式√(n&a^n )=a一定成立吗?
提示:不一定成立.通过探究可得到:n为奇数,√(n&a^n )=a;n为偶数,√(n&a^n )=|a|={■(a"," a≥0"," @"-" a"," a<0"." )┤
2.填空
3.做一做
(1)若(√(n&"-" 2))n=-2(n>1,且n∈N*)有意义,则n为__________数;(填“奇”或“偶”)
(2)若m<n,则√("(" m"-" n")" ^2 )=__________.
答案:(1)奇 (2)n-m
三、分数指数幂
1.(1)整数指数幂的运算性质有哪些?
提示:①am•an=am+n;②(am)n=am•n;
③a^m/a^n =am-n(m>n,a≠0);(4)(a•b)m=am•bm.
(2)零指数幂和负整数指数幂是如何规定的?
提示:规定:a0=1(a≠0);00无意义,a-n=1/a^n (a≠0).
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探究学习
根式的概念
例1(1)27的立方根是__________;16的4次方根是__________.
(2)已知x6=2 019,则x=__________.
(3)若∜(x+3)有意义,则实数x的取值范围为__________.
解析:(1)27的立方根是∛27=3,16的4次方根为±∜16=±2.
(2)由根式的定义可得x=±√(6&2" " 019).
(3)要使∜(x+3)有意义,则x需满足x+3≥0,即x≥-3.
答案:(1)3 ±2 (2)±√(6&2" " 019) (3)x≥-3
反思感悟 根式概念问题应关注的两点
(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数;
(2)n为奇数时,a的正负决定着n次方根的符号.
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思想方法
用换元法处理指数幂中的化简与证明问题
典例 已知pa3=qb3=rc3,且1/a+1/b+1/c=1.
求证:(pa2+qb2+rc2")" ^(1/3)=p^(1/3)+q^(1/3)+r^(1/3).
分析:看见三个式子连等,立刻想到赋中间变量,通过中间变量去构建能用到题干中已知值的式子.
证明令pa3=qb3=rc3=k,
则pa2=k/a,qb2=k/b,rc2=k/c;p=k/a^3 ,q=k/b^3 ,r=k/c^3 .
∴所证等式左边= k/a+k/b+k/c ^(1/3)
= k 1/a+1/b+1/c ^(1/3)=k^(1/3),
所证等式右边=(k/a^3 )^(1/3)+(k/b^3 )^(1/3)+(k/c^3 )^(1/3)
=k^(1/3) (1/a+1/b+1/c)=k^(1/3).
∴(pa2+qb2+rc2")" ^(1/3)=p^(1/3)+q^(1/3)+r^(1/3).
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随堂演练
1.计算∛("(" 2"-" π")" ^3 )+√("(" 3"-" π")" ^2 )的值为( )
A.5 B.-1
C.2π-5 D.5-2π
解析:∛("(" 2"-" π")" ^3 )+√("(" 3"-" π")" ^2 )=2-π+π-3=-1.故选B.
答案:B
2.下列各式正确的是( )
A.(n/m)^7=n7m^(1/7)
B.√(12&"(-" 3")" ^4 )=∛("-" 3)
C.∜(x^3+y^3 )=(x+y")" ^(3/4)
D.√(∛9) =∛3
解析:∵(n/m)^7=n^7/m^7 =n7m-7,∴A错;
∵√(12&"(-" 3")" ^4 )=√(12&3^4 )=∛3,∴B错;
∵∜(x^3+y^3 )=(x3+y3")" ^(1/4),∴C错;
∵√(∛9) =√(9^(1/3) )=9^(1/3×1/2)=3^(1/3)=∛3,∴D正确.
答案:D
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