《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT下载(第一课时余弦定理)
第一部分内容：内容标准
1.会借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系．
2.掌握余弦定理及其推论．
3.能够利用余弦定理及推论解三角形.
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平面向量的应用PPT，第二部分内容：课前 • 自主探究
[教材提炼]
知识点一 余弦定理
预习教材，思考问题
(1)已知一个三角形的两条边及其它们的夹角，这个三角形的大小、形状能完全确定吗？
(2)在△ABC中，如果已知边a，b和角C，那么从向量的角度考虑，边c的长度可视为什么？向量AB→如何用已知边所对应的向量表示？如何求出|AB→|？边c的长度用边a，b和角C如何表示？
知识梳理 (1)文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和 这两边与它们夹角的_____的积的两倍．
(2)符号语言：在△ABC中，a2＝__________，b2＝__________，c2＝__________.
知识点二 余弦定理的推论
预习教材，思考问题
在△ABC中，已知三条边，如何求出其三个内角？
知识点三 解三角形
预习教材，思考问题
一个三角形有几个内角，几条边？
[自主检测]
1．在△ABC中，符合余弦定理的是( )
A．c2＝a2＋b2－2abcos C
B．c2＝a2－b2－2bccos A
C．b2＝a2－c2－2bccos A
D．cos C＝a2＋b2＋c22ab
2．在△ABC中，已知a2＋b2＝c2＋2ba，则C＝( )
A．30° B．45°
C．135° D．150°
3．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足的条件是( )
A．a2<b2＋c2 B．a2＝b2＋c2
C．a2>b2＋c2 D．a2≤b2＋c2
4．在△ABC中，AB＝1，BC＝2，B＝60°，则AC＝__________.
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平面向量的应用PPT，第三部分内容：课堂 • 互动探究
探究一 已知两边及一角解三角形
[例1] (1)在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求角A.
(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求a.
方法提升
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边的夹角，还是其中一边的对角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三条边．
探究二 已知三边解三角形
[例2] 已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC的各内角度数．
方法提升
已知三边解三角形的步骤
(1)分别用余弦定理的推论求出两个角；
(2)用三角形内角和定理求出第三个角．
探究三 判断三角形的形状
[例3] 已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab且2cos Asin B＝sin C，试判断此三角形的形状．
方法提升
1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题．一般有两条思考路线：(1)化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系．(2)化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系．
2．判断三角形的形状时，经常用到以下结论：
(1)△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.
(2)△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2且b2＋c2>a2且c2＋a2>b2.
(3)△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2.
(4)若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝π2.
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平面向量的应用PPT，第四部分内容：课后 • 素养培优
一、“勿忘我”——三角形中不等关系的利用
逻辑推理、数学运算
在三角形中，当解决边和角的范围问题时，首先要考虑到三角形中的隐含条件，如锐角三角形，钝角三角形，大边对大角，大角对大边，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等等．
二、余弦定理与基本不等式在解三角形中的综合应用
逻辑推理、数学运算
在求周长或面积范围时常用余弦定理转化为边的关系，再利用基本不等式求解．
[典例2] 已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(sin B,1－cos B)与向量n＝(2,0)的夹角θ的余弦值为12.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，求a＋c的取值范围．
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