《平面向量基本定理及坐标表示》平面向量及其应用PPT下载(平面向量基本定理)
第一部分内容：内容标准
1.理解基底的含义，并能判断两个向量是否构成基底．
2.理解平面向量基本定理及其意义，会用基底表示平面向量.
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平面向量基本定理及坐标表示PPT，第二部分内容：课前 • 自主探究
[教材提炼]
知识点 平面向量基本定理
预习教材，思考问题
在物理中，如图，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力也可以分解为两个不同方向的力．那么对于平面内的任意向量a和两个非零向量e1，e2，能否将向量a按e1，e2的方向分解？如果能，分解方法唯一吗？
[自主检测]
1．设O点是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )
①AD→与AB→；②DA→与BC→；③CA→与DC→；④OD→与OB→.
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
2．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是( )
A．已知实数λ1、λ2，则向量λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内
B．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2可以不唯一
C．若有实数λ1、λ2使λ1e1＝λ2e2，则λ1＝λ2＝0
D．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2不一定存在
3．M为△ABC的重心，点D，E，F分别为三边BC，AB，AC的中点，则MA→＋MB→＋MC→等于( )
A．6ME→ B．－6MF→
C．0 D．6MD→
4．如图，M、N是△ABC的一边BC上的两个三等分点，若AB→＝a，AC→＝b，则MN→＝________.
5．如图，平行四边形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，H、M分别是AD、DC的中点，F点在BC上，且BF＝13BC，以a，b为基底分解向量AM→＝________，HF→＝________.
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平面向量基本定理及坐标表示PPT，第三部分内容：课堂 • 互动探究
探究一 基底的概念
[例1] (1)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2
B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2
D．e1和e1＋e2
(2)已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且a与b是一组基底，则实数λ的取值范围是________．
方法提升
对基底的理解
(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2，y1＝y2.
提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．
探究二 用基底表示向量
[例2] 如图所示，已知▱ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点，若AB→＝a，AD→＝b，试以a、b为基底表示DE→、BF→.
方法提升
用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
探究三 平面向量基本定理与数量积的综合应用
[例3] 在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边BC，CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是( )
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．等腰三角形
方法提升
向量法判断垂直问题的理论依据和步骤
(1)理论依据：非零向量a•b＝0⇔a⊥b是解决平面几何图形中的垂直问题的理论根据．
(2)步骤：首先选取已知模、夹角的两个向量作为基底，表示出未知向量a，b(对于平行四边形，结合已知条件常常选从同一点出发的两条边对应的向量作为基底表示其他向量)，其次计算数量积a•b，最后利用数量积为0判断相应的直线或线段垂直．
提醒：基底的选取非常重要，恰当的选取基底可以使数量积运算变得简便．
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平面向量基本定理及坐标表示PPT，第四部分内容：课后 • 素养培优
一、“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”——神奇的基底
直观想象、数学运算、逻辑推理
[典例1] 如图，已知△OCB中，A是CB的中点，D是将OB→分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA→＝a，OB→＝b.
(1)用a和b表示向量OC→，DC→；
(2)若OE→＝λOA→，求实数λ的值．
[素养提升] 应用平面向量基本定理的注意事项
(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．
(2)强化共线向量定理的应用．
二、方程的思想——用基向量表示向量中的应用
用基底表示复杂的向量时，由于部分中间量关系不明确，故需要用共线向量定理设定几个未知数，然后列出相应的方程可达目的．
[典例2] 如图，在△OAB中，OA→＝a，OB→＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且OM→＝13a，ON→＝12b.设AN与BM相交于点P，用向量a，b表示OP→.
[素养提升] 加强几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．
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