《平面向量的运算》平面向量及其应用PPT下载(向量的数乘运算)
第一部分内容：内容标准
1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则．
2.理解平面向量数乘运算的几何意义．
3.理解两个平面向量共线的含义．
4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
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平面向量的运算PPT，第二部分内容：课前 • 自主探究
[教材提炼]
知识点一 向量的数乘运算
预习教材，思考问题
如图，已知向量a，请作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)，并指出所得和向量与向量a的模、方向有什么关系．
――→a
[提示] 如图，a＋a＋a＝OC→，(－a)＋(－a)＋(－a)＝PF→，可以发现：a＋a＋a与a的方向相同，模是a的模的3倍；(－a)＋(－a)＋(－a)与a的方向相反，模是a的模的3倍．
知识点二 数乘运算的运算律
预习教材，思考问题
已知向量a，请通过作图判断以下结论是否成立．
(1)3(2a)＝6a；
(2)(2＋3)a＝2a＋3a；
(3)2(a＋b)＝2a＋2b.
知识梳理 设λ，μ为实数，则
(1)①λ(μa)＝____，
②(λ＋μ)a＝____，
③λ(a＋b)＝____ (分配律)．
特别地，我们有
(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
(2)向量的线性运算：向量的____、____、____运算统称向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是____．
对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝________.
知识点三 共线向量定理
预习教材，思考问题
(1)a＝λb⇒a与b共线，对吗？
(2)若a与b共线，一定有a＝λb吗？
[自主检测]
1．下列说法正确的是( )
A．2a与a不能相等 B．|2a|＞|a|
C．2a∥a D．|2a|≠1
2．若3x－2(x－a)＝0，则向量x等于( )
A．2a B．－2a
C.25a D．－25a
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平面向量的运算PPT，第三部分内容：课堂 • 互动探究
探究一 向量的线性运算
[例1] 计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；
(2)12[(3a＋2b)－23a－b]－76[12a＋37(b＋76a)]；
(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．
[分析] 根据向量的线性运算法则求解．
方法提升
向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.
探究二 向量线性运算的综合应用
[例2] 在▱ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交CD于点F，若AC→＝a，BD→＝b，则AF→＝( )
A.14a＋12bB.13a＋23b
C.12a＋14bD.23a＋13b
探究三 利用共线向量证明三点共线
[例3] 已知任意两个非零向量a，b，试作OA→＝a＋b，OB→＝a＋2b，OC→＝a＋3b，猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的猜想．
方法提升
证明三点共线的方法
若向量AB→＝λAC→，则AB→，AC→共线，又AB→与AC→有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
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平面向量的运算PPT，第四部分内容：课后 • 素养培优
一、“能伸能缩的大丈夫” ——向量的数乘运算
直观想象、逻辑推理、数学运算
向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，数乘运算的几何意义就是向量的伸缩变换．
[典例1] 已知向量a，b.
(1)计算：6a－[4a－b－5(2a－3b)]＋(a＋7b)；
(2)把满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b的向量x，y用a，b表示出来．
二、典题悟道——三点共线的判定与证明
直观想象、逻辑推理
[典例2] 如图所示，已知在▱ABCD中，点M为AB的中点，点N在BD上，且3BN＝BD.
求证：M、N、C三点共线．
[思维突破] 第一步，看结论：证明M、N、C三点共线．
第二步，想方法：运用共线向量定理证明MN→＝λMC→.
第三步，找联系：以AB→，AD→来表示MN→，MC→，借助共线向量定理寻求λ，使MN→＝λMC→，使问题得证．
[素养提升] 用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路
(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；
(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合.
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