《平面向量的运算》平面向量及其应用PPT课件(第3课时向量的数乘运算)
第一部分内容：必备知识·素养奠基
1.向量的数乘运算
定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.
规定：(1)|λa|=|λ||a|.
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0.
【思考】
向量数乘运算的结果是什么？
提示：数乘向量的结果仍是一个向量，它既有大小又有方向.
2.向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)=λμa；
(2)(λ+μ)a=λa+μa；
(3)λ(a+b)=λa+λb.
特别地，我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a)，λ(a-b)=λa-λb.
3.向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.
4.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa.
【思考】
(1)共线向量定理中的“a≠0”是否多余，能去掉吗？
提示：不能，定理中之所以限定a≠0是由于若a=b=0，λ存在，但不唯一，若a=0，b≠0，则λ不存在.
(2)反之，“若存在一个实数λ，使b=λa(a≠0)，则a与b共线”成立吗？
提示：成立.
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平面向量的运算PPT，第二部分内容：关键能力·素养形成
类型一 向量的线性运算
【典例】1.(2019·临沂高一检测)化简 [ (2a+8b)-(4a-2b)]的结果是( )
A.2a-b B.2b-a
C.b-a D.a-b
2.已知向量a，b，x，且(x-a)-(b-x)=x-(a+b)，则x=________.
【思维·引】1.类比实数运算中合并同类项的方法化简.
2.利用解方程的方法求解.
【解析】1.选B.原式= (a+4b-4a+2b)= (6b-3a)=2b-a.
2.因为(x-a)-(b-x)=2x-(a+b)，所以2x-a-b=x-a-b，即x=0.
答案：0
【内化·悟】
1.向量的线性运算的主要方法是什么？
提示：去括号，合并“同类项”.
2.解含有向量的方程时，可以把向量当成普通未知量求解吗？
提示：可以.
【类题·通】
向量线性运算的方法
(1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数是向量的系数.
(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.
【习练·破】
已知a=4d，b=5d，c=-3d，则2a-3b+c等于 ( )
A.10d B.-10d
C.20d D.-20d
【解析】选B.2a-3b+c=8d-15d-3d=-10d.
【加练·固】
已知向量a，b，且5x+2y=a，3x-y=b，求x，y.
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