《正切函数的性质与图象》三角函数PPT
第一部分内容：课标阐释
1.能够借助单位圆中的正切线画出函数y=tan x的图象.
2.掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性.
3.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题.
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正切函数的性质与图象PPT，第二部分内容：自主预习
一、正切函数的图象
1.根据同角三角函数基本关系中的商数关系,你能否推断y=tan x是一个周期函数?
提示:因为tan x=sinx/cosx,
所以tan(x+π)=(sin"(" x+π")" )/(cos"(" x+π")" )=("-" sinx)/("-" cosx)=tan x,
所以y=tan x是一个周期函数.
2.填空
(1)正切函数的图象(如图):
(2)正切函数的图象叫做正切曲线.
(3)正切函数的图象特征:正切曲线是由被相互平行的直线
x=π/2+kπ,k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的.
3.判断正误
(1)函数y=|tan x|与y=tan x的周期相等,都是π. ( )
(2)函数y=tan|x|的最小正周期是π/2. ( )
答案:(1)√ (2)×
二、正切函数的性质
1.观察正切曲线,思考:正切函数的值域是什么?正切函数是整个定义域上的增函数吗?正切函数会不会在某一区间内是减函数?正切函数的图象关于某些直线对称吗?关于某些点对称吗?
提示:正切函数的值域是R;正切函数在整个定义域上不是增函数;正切函数不会在某一区间内是减函数,正切函数的图象不可能关于某条直线对称;关于一些点是对称的.
2.填空
3.做一做
(1)函数y=tan(2x+π/3)的定义域是______;
(2)函数y=tan(x"-" π/4)的单调递增区间是____________.
解析:(1)由2x+π/3≠kπ+π/2,k∈Z,
解得x≠kπ/2+π/12(k∈Z),
所以函数定义域为{x├|x≠kπ/2+π/12 "," k"∈" Z┤}.
(2)由kπ-π/2<x-π/4<kπ+π/2,k∈Z,
解得kπ-π/4<x<kπ+3π/4,k∈Z,
所以函数的单调递增区间是
(kπ"-" π/4 "," kπ+3π/4)(k∈Z).
答案:(1){x├|x≠kπ/2+π/12 "," k"∈" Z┤}(2)(kπ"-" π/4 "," kπ+3π/4)(k∈Z)
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正切函数的性质与图象PPT，第三部分内容：探究学习
正切函数的定义域与值域问题
例1求下列函数的定义域和值域:
(1)f(x)=tan(1/2 x"-" π/3);
(2)f(x)=√(√3 "-" tanx).
分析:根据正切函数的定义域和值域并结合正切函数的图象求解.
解:(1)依题意得1/2x-π/3≠kπ+π/2,k∈Z,
所以x≠2kπ+5π/3,k∈Z.
所以函数的定义域是{x├|x≠2kπ+5π/3 "," k"∈" Z┤}.
由正切函数的值域可知该函数的值域是(-∞,+∞).
(2)依题意√3-tan x≥0,所以tan x≤√3.
结合y=tan x的图象可知,
在("-" π/2 "," π/2)上,满足tan x≤√3的角x应满足-π/2<x≤π/3,
所以函数y=√(√3 "-" tanx)的定义域为{x├|kπ"-" π/2<x≤kπ+π/3 "," k"∈" Z┤},其值域为[0,+∞).
反思感悟 求正切函数定义域的方法及注意点:
求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠ +kπ,k∈Z.而对于构建的三角不等式,常利用正切函数的图象求解.解形如tan x>a的不等式的步骤:
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正切函数的性质与图象PPT，第四部分内容：思维辨析
弄错正切函数图象的对称中心致误
典例 y=tan(2x+θ)图象的一个对称中心为(π/3 "," 0),若-π/2<θ<π/2,则θ=__________.
错解函数y=tan x的对称中心是(kπ,0),其中k∈Z,则令2x+θ=kπ,k∈Z,当x=π/3时,解得θ=kπ-2π/3,k∈Z,由-π/2<θ<π/2,得θ=π/3.
错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?
提示:错解中,将正切函数y=tan x图象的对称中心(kπ/2 "," 0)(k∈Z)误以为(kπ,0)(k∈Z),从而导致θ的值求错.
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正切函数的性质与图象PPT，第五部分内容：随堂演练
1.f(x)=tan("-" 2x+π/3)的最小正周期为( )
A.π/4 B.π/2 C.π D.2π
解析:T=π/("|-" 2"|" )=π/2.
答案:B
2.函数f(x)=sin xtan x( )
A.是奇函数 B.是偶函数
C.是非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
解析:定义域为{x├|x≠kπ+π/2 "," k"∈" Z┤},关于原点对称.
由f(-x)=sin (-x)·tan(-x)=(-sin x)·(-tan x)=sin xtan x=f(x),则f(x)是偶函数.故选B.
答案:B
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