《同角三角函数的基本关系》三角函数PPT
第一部分内容：课标阐释
1.理解同角三角函数基本关系式.
2.能运用同角三角函数基本关系式解决求值、化简与证明问题.
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同角三角函数的基本关系PPT，第二部分内容：自主预习
同角三角函数的基本关系式
1.填写下表,你能从中发现同一个角的三角函数值之间有什么关系?
提示:填表略.sin2α+cos2α=1,tan α=sinα/cosα.
2.填空
同角的三角函数基本关系
(1)平方关系:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,即sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切,
即sinα/cosα=tan α("其中" α≠kπ+π/2 "(" k"∈" Z")" ).
3.做一做
(1)sin22 019°+cos22 019°=( )
A.0 B.1 C.2 019 D.2 019°
(2)若sin θ+cos θ=0,则tan θ=_________.
解析:(1)由平方关系知sin22 019°+cos22 019°=1.
(2)由sin θ+cos θ=0得sin θ=-cos θ,所以tan θ=sinθ/cosθ=("-" cosθ)/cosθ=-1.
答案:(1)B (2)-1
4.已知sin α(或cos α)的值,能否求出cos α(或sin α),tan α的值?已知sin α±cos α的值,怎样求出sin αcos α的值?
提示:利用两种关系式的变形可以解决上述问题.
二、同角三角函数基本关系式的变形
1.平方关系sin2α+cos2α=1的变形
(1)sin2α=1-cos2α;(2)cos2α=1-sin2α;(3)1=sin2α+cos2α;(4)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α;(5)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α.
2.商数关系tan α=sinα/cosα (α≠kπ+π/2 "," k"∈" Z)的变形
(1)sin α=tan α·cos α;
(2)cos α=sinα/tanα.
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同角三角函数的基本关系PPT，第三部分内容：探究学习
利用同角三角函数关系求值
角度1 已知某个三角函数值,求其余三角函数值
例1(1)已知sin α=1/5,求cos α,tan α的值;
(2)已知cos α=-3/5,求sin α,tan α的值.
分析:已知角的正弦值或余弦值,求其他三角函数值,应先判断三角函数值的符号,然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值,再利用商数关系求该角的正切值.
解:(1)∵sin α=1/5>0,∴α是第一或第二象限角.
当α为第一象限角时,cos α=√(1"-" sin^2 α)=√(1"-" 1/25)=(2√6)/5,tan α=sinα/cosα=√6/12;
当α为第二象限角时,cos α=-(2√6)/5,tan α=-√6/12.
(2)∵cos α=-3/5<0,∴α是第二或第三象限角.当α是第二象限角时,sin α>0,tan α<0,∴sin α=√(1"-" cos^2 α)=√(1"-" ("-" 3/5) ^2 )=4/5,tan α=sinα/cosα=-4/3;当α是第三象限角时,sin α<0,tan α>0,∴sin α=-√(1"-" cos^2 α)=-√(1"-" ("-" 3/5) ^2 )=-4/5,tan α=sinα/cosα=4/3.
反思感悟 已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤
第一步:由已知三角函数的符号,确定其角终边所在的象限;
第二步:依据角的终边所在象限分类讨论;
第三步:利用同角三角函数关系及其变形公式,求出其余三角函数值.
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同角三角函数的基本关系PPT，第四部分内容：核心素养
案例(开放探究题)从已知条件sin θ+cos θ=1/3 ,且θ∈(0,π),可以得到以下关系式:
(1)_____;
(2)_____;
(3)_____.
解析:由sin θ+cos θ=1/3可以得出的结论是多样的,为此需明确方向.从同角三角函数的关系入手.因为sin θ+cos θ=1/3,所以(sin θ+cos θ)2=1/9,即sin2θ+cos2θ+2sin θcos θ=1/9,所以得sin θcos θ=-4/9 ①;此外注意到(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ,因此(sin θ-cos θ)2=17/9 ②,由sin θcos θ=-4/9<0,且θ∈(0,π)可知,θ∈ π/2,π ,从而sin θ-cos θ=√17/3 ③;亦可将③式与条件联立得sin θ=(1+√17)/6,cos θ=(1"-" √17)/6 ④,由④式可得tan θ=(1+√17)/(1"-" √17)=-(9+√17)/8 ⑤,等,从①②③④⑤中选择任意三个填上即可.
答案:(1)sin θcos θ=-4/9 (2)(sin θ-cos θ)2=17/9
(3)sin θ-cos θ=√17/3(答案不唯一)
名师点评对于此类结论开放型试题,在解题的过程中需明确方向,然后顺着这个方向进行,在此过程中充分运用各种关系进行衍生,显然本题的求解方向为同角三角函数之间的关系,更为重要的是,本题中所运用的恒等式如下:(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ;
(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ;
(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2;
(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ.
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同角三角函数的基本关系PPT，第五部分内容：思维辨析
忽视角的取值范围致误
典例 已知sin α+cos α=1/5,0<α<π,求sin α-cos α.
错解∵sin α+cos α=1/5,
∴(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1/25,
∴2sin αcos α=-24/25,
∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=49/25,
∴sin α-cos α=±7/5.
以上解题过程及结果错在什么地方?你发现了吗?如何避免这类错误?
提示:错解中没有注意到角α∈(0,π),从而可推出sin α>0,cos α<0,因此解是唯一的.
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同角三角函数的基本关系PPT，第六部分内容：随堂演练
1.已知α∈(π/2 "," π),sin α=3/5,则cos α等于( )
A.4/5 B.-4/5 C.-1/7 D.3/5
解析:因为α∈(π/2 "," π),且sin α=3/5,
所以cos α=-√(1"-" sin^2 α)=-√(1"-" (3/5)^2 )=-4/5.
答案:B
2.化简√(1"-" sin^2 3π/5)的结果是( )
A.cos3π/5 B.sin3π/5
C.-cos3π/5 D.-sin3π/5
解析:原式=√(cos^2 3π/5)=|cos" " 3π/5|=-cos 3π/5.
答案:C
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