《函数的应用》指数函数、对数函数与幂函数PPT
第一部分内容：课标阐释
1.能运用指数函数、对数函数、幂函数的性质来解决某些简单的实际问题.
2.了解函数模型在社会生活及科研中的广泛应用.
3.培养应用数学的意识以及分析问题、解决问题的能力.
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函数的应用PPT，第二部分内容：课前篇自主预习
一、几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
与指数函数相关的模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
与对数函数相关的模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
与幂函数相关的模型f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0)
二、三种函数模型性质的比较
1.填空.
y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0)
在(0,+∞)上的单调性 增函数 增函数 增函数
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图像的变化 随x值增大,图像与y轴接近平行 随x值增大,图像与x轴接近平行 随n值变化而不同
2.做一做:某同学在一次数学实验中,获得了如下一组数据:
则x,y的函数关系最接近(其中a,b为待定系数)函数( )
A.y=a+bx
B.y=bx
C.y=ax2+b
答案:B
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函数的应用PPT，第三部分内容：课堂篇探究学习
指数函数模型
例1诺贝尔奖发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,奖励给分别在物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平上为人类做出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半,另一半利息作基金总额,以便保证奖金数逐年增加.假设基金平均年利率为r=6.24%.资料显示:2015年诺贝尔奖发放后基金总额约为19 800万美元.设f(x)表示第x(x∈N+)年诺贝尔奖发放后的基金总额.(2015年记为f(1),2016年记为f(2),…,依次类推)
(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;
(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2025年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由.(参考数据:1.031 29≈1.32)
分析:指数型函数模型的应用是高考的一个主要内容,常与增长率相结合进行考查.在实际问题中,有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数型函数模型来表示.通常可表示为y=a(1+p)x(其中a为原来的基础数,p为增长率,x为时间)的形式.
解:(1)由题意知f(2)=f(1)(1+6.24%)- f(1)·6.24%=f(1)×(1+3.12%),
f(3)=f(2)×(1+6.24%)- f(2)×6.24%
=f(2)×(1+3.12%)=f(1)×(1+3.12%)2,
∴f(x)=19 800(1+3.12%)x-1(x∈N+).
(2)2024年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)=19 800(1+3.12%)9≈26 136,
故2025年度诺贝尔奖各项奖金为 f(10)·6.24%≈136(万美元),与150万美元相比少了约14万美元,是假新闻.
反思感悟指数函数模型的应用
指数函数y=ax(a>1)经复合可以得到指数型函数,指数型函数的函数值变化较快,指数型函数函数值的增长速度随底数不同而不同,并且根据已知数据的关系能建立起模型,进而能对未知进行推断.
变式训练1某城市现有人口总数为100万,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题.
(1)写出该城市的人口总数y(万)与年数x(年)的函数关系式;
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万);
(3)计算大约多少年后该城市人口总数将达到120万(精确到1年)((1+1.2%)10≈1.127,(1+1.2%)15≈1.196,(1+1.2%)16≈1.21).
解:(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)(万);
2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2(万);
3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)3(万);
该城市人口总数y(万)与年数x(年)的函数关系式为y=100×(1+1.2%)x.
(2)10年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)10≈100×1.127≈112.7(万).
(3)令y=120,则有100×(1+1.2%)x=120,
解方程可得x≈16,
即大约16年后该城市人口总数将达到120万.
对数函数模型
例2 某地一渔场的水质受到了污染.渔场的工作人员对水质检测后,决定往水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为m(m∈N+)个单位的药剂后,经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y=mf(x),其中f(x)={■(log_3 "(" x+4")(" 0<x≤5")," @6/(x"-" 2) "(" x>5")," )┤当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)时称为有效净化;当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)时称为最佳净化.
(1)如果投放的药剂质量为m=6,那么渔场的水质达到有效净化一共可持续几天?
(2)如果投放的药剂质量为m,为了使在8天(从投放药剂算起包括第8天)之内的渔场的水质达到最佳净化,试确定应该投放的药剂质量m的取值范围.
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函数的应用PPT，第四部分内容：思维辨析
因未弄清函数类型而致误
典例 某林区2018年木材蓄积量为200万立方米,由于采取了封山育林、严禁砍伐等措施,使木材蓄积量的年平均增长率达到5%.
(1)若经过x年后,该林区的木材蓄积量为y万立方米,求y=f(x)的表达式,并求此函数的定义域;
(2)求经过多少年后,林区的木材蓄积量能达到300万立方米.
错解:(1)现有木材蓄积量为200万立方米,经过1年后木材蓄积量为200+200×5%=200(1+5%);
经过2年后木材蓄积量为200(1+5%×2);
经过x年后木材蓄积量为200(1+5%·x).
所以y=f(x)=200(1+5%·x)(x∈N+).
(2)设x年后木材蓄积量为300万立方米,
正解:(1)现有木材蓄积量为200万立方米.
经过1年后木材蓄积量为200+200×5%=200(1+5%);
经过2年后木材蓄积量为200(1+5%)+200(1+5%)×5%=200(1+5%)2;
所以经过x年后木材蓄积量为200(1+5%)x.
所以y=f(x)=200(1+5%)x(x∈N+).
(2)由200(1+5%)x=300,得(1+5%)x=1.5,取值验证可知8<x<9,所以取x=9,即经过9年后,林区的木材蓄积量能达到300万立方米.
防范措施对此类问题首先要弄清题目,木材蓄积量年平均增长问题实质上为一指数函数类模型.若初始蓄积量为a,年平均增长率为b%,则x年后木材蓄积量y与x的关系为y=a(1+b%)x,x∈N+.另外还有储蓄等问题也属于指数型函数模型.因此大家在学习过程中多积累实际素材,每一类实际问题都有其自身的规律特点.
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函数的应用PPT，第五部分内容：当堂检测
1.(多选)某种商品2018年提价25%,2020年要降价,但不能低于原价,则可以降价( )
A.25% B.20% C.15% D.10%
答案:BCD
2.某研究小组在一项实验中获得一组关于y,t之间的数据,将其整理后得到如下的图像,下列函数中,最能近似刻画y与t关系的是( )
A.y=2t
B.y=2t2
C.y=t3
D.y=log2t
答案:D
解析:此曲线符合对数函数的变化趋势.
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