《三角函数的概念》三角函数PPT课件(第2课时同角三角函数的基本关系)
第一部分内容：学 习 目 标
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点)
2．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)
核 心 素 养
1.通过同角三角函数的基本关系进行运算，培养数学运算素养．
2．借助数学式子的证明，培养逻辑推理素养.
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三角函数的概念PPT，第二部分内容：自主预习探新知
新知初探
1．平方关系
(1)公式：sin2α＋cos2α＝_____.
(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于_____.
2．商数关系
(1)公式：sin αcos α＝_____(α≠kπ＋π2，k∈Z)．
(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于__________．
思考：对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？
提示：成立．平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．
初试身手
1．化简1－sin23π5的结果是( )
A．cos3π5 B．sin3π5
C．－cos3π5 D．－sin3π5
2．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )
A．tan α＝－sin αcos α
B．cos α＝－1－sin2 α
C．sin α＝－1－cos2 α
D．tan α＝cos αsin α
3．若cos α＝35，且α为第四象限角，则tan α＝________.
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三角函数的概念PPT，第三部分内容：合作探究提素养
直接应用同角三角函数关系求值
【例1】(1)已知α∈π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________.
(2)已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．
[思路点拨] (1)根据tan α＝2和sin2α＋cos2α＝1列方程组求cos α.
(2)先由已知条件判断角α是第几象限角，再分类讨论求sin α，tan α.
规律方法
利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：
1已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系.
2若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果.
提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号.
跟踪训练
1．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．
[解] ∵sin α＋3cos α＝0，
∴sin α＝－3cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，
∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，
即10cos2α＝1，
∴cos α＝±1010.
又由sin α＝－3cos α，
可知sin α与cos α异号，
∴角α的终边在第二或第四象限．
当角α的终边在第二象限时，cos α＝－1010，sin α＝31010；
当角α的终边在第四象限时，cos α＝1010，sin α＝－31010.
灵活应用同角三角函数关系式求值
【例2】(1)已知sin α＋cos α＝713，α∈(0，π)，则tan α＝________.
(2)已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值．
①3sin α－cos α2sin α＋3cos α；
②sin2α－2sin αcos α＋1.
[思路点拨](1)法一：求sin αcos α→求sin α－cos α→求sin α和cos α→求tan α
法二：求sin αcos α→弦化切构建关于tan α的方程→求tan α
(2)求tan α→换元或弦化切求值
规律方法
1．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
2．已知tan α＝m，求关于sin α，cos α的齐次式的值
解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos α≠0，所以可除以cos α，这样可将被求式化为关于tan α的表示式，然后代入tan α＝m的值，从而完成被求式的求值．
提醒：求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．
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三角函数的概念PPT，第四部分内容：当堂达标固双基
1．思考辨析
(1)对任意角α，sin α2cos α2＝tan α2都成立．( )
(2)因为sin2 94π＋cos2 π4＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角．( )
(3)对任意角α，sin α＝cos α•tan α都成立．( )
[提示] 由同角三角函数的基本关系知(2)错，由正切函数的定义域知α不能取任意角，所以(1)错，(3)错．
2．已知tan α＝－12，则2sin αcos αsin2α－cos2α的值是( )
A.43 B．3
C．－43 D．－3
3．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.
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