《函数的最大(小)值》函数的概念与性质PPT
第一部分内容：课标阐释
1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义.
2.能借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值(或值域).
3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.
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函数的最大(小)值PPT，第二部分内容：自主预习
一、函数的最大(小)值的定义
1.(1)如图所示是函数y=-x2-2x、y=-2x+1,x∈[-1,+∞)、y=f(x)的图象,这三个函数的图象上有没有最高点?
提示:都有最高点,分别为点A、B、C.
(2)从点的坐标角度,如何理解函数图象的最高点?
提示:图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.
(3)如图③所示,图象上最高点C的坐标为(x0,f(x0)),在图象上任取一点A(x,f(x)),f(x)与f(x0)有什么关系?
提示:点C是图象的最高点,即对定义域内任意x,均有f(x)≤f(x0)成立.
(4)一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对∀x∈I,都有f(x)≤M;
②∃x0∈I,使得f(x0)=M,那么我们就称M是函数y=f(x)的最大值.
其几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标.
(5)类比函数最大值的定义,请你给出最小值的定义及其几何意义.
提示:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
①∀x∈I,都有f(x)≥M;
②∃x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最小值.
函数最小值的几何意义:函数图象上最低点的纵坐标.
(6)是否每个函数都有最大值、最小值?如果有最值,取最值的点有几个?举例说明.
提示:一个函数不一定有最值,例如y= 在定义域内没有最大值也没有最小值.有的函数可能只有一个最大(或小)值,例如y=-2x+1,x∈[-1,+∞).如果一个函数存在最值,那么函数的最大值和最小值都是唯一的,但取最值时的自变量可以有多个,如y=x2,x∈[-2,2],最大值只有一个为4,而取最大值的x有x=±2两个.
2.做一做
已知函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则该函数的最小值、最大值分别是( )
A.f(-2),0 B.0,2
C.f(-2),2 D.f(2),2
解析:由题图可知,该函数的最小值为f(-2),最大值为f(1)=2.
答案:C
二、函数的单调性与最大(小)值
1.(1)若函数y=f(x)在区间[a,b]上是增函数或减函数,它一定有最值吗?如果有,最值是什么?
提示:若函数y=f(x)在区间[a,b]上是增函数,则函数的最小值为ymin=f(a),最大值为ymax=f(b);若函数y=f(x)在区间[a,b]上是减函数,则函数的最小值为ymin=f(b),最大值为ymax=f(a).
(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上是增(或减)函数,这个函数有最值吗?
活动方案:启发学生画一个符合条件的函数草图,注意端点不在区间内,然后回答.
提示:不存在最值,但可以说函数y=f(x)在区间(a,b)上的值域为(f(a),f(b))[或(f(b),f(a))].
(3)已知函数y=f(x)的定义域是[a,b],a<c<b.当x∈[a,c]时,f(x)是单调增函数;当x∈[c,b]时,f(x)是单调减函数.试证明:f(x)在x=c时取得最大值.
提示:因为当x∈[a,c]时,f(x)是单调增函数,所以对于任意x∈[a,c],都有f(x)≤f(c).又因为当x∈[c,b]时,f(x)是单调减函数,所以对于任意x∈[c,b],都有f(x)≤f(c).因此,对于任意x∈[a,b]都有f(x)≤f(c),即f(x)在x=c时取得最大值.
2.做一做
函数y=x2-4x+1在[-2,0]上的最大值是___________,最小值是___________.
解析:函数y=x2-4x+1在[-2,0]上单调递减,故当x=2时,ymax=13,当x=0时,ymin=1.
答案:13 1
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函数的最大(小)值PPT，第三部分内容：探究学习
利用函数的图象求函数的最值
例1 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.
分析:去绝对值→分段函数→作图→识图→结论.
解:y=-|x-1|+2={■(3"-" x"," x≥1"," @x+1"," x<1"," )┤函数图象如图所示.
由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-∞,2].
变式训练1已知函数f(x)={■(1/x "," 0<x<1"," @x"," 1≤x≤2"." )┤
(1)画出f(x)的图象;
(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.
解:(1)函数f(x)的图象如图所示.
(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.
利用函数的单调性求最值
例2 已知函数f(x)=x+ .
(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;
(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.
分析:(1)证明单调性的流程:取值→作差→变形→判断符号→结论;
(2)借助最值与单调性的关系,写出最值.
反思感悟 1.利用单调性求函数最值的一般步骤:
(1)判断函数的单调性;(2)利用单调性写出最值.
2.函数的最值与单调性的关系:
(1)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
(2)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,在区间(b,c]上是减(增)函数,则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.
(3)若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则函数f(x)在区间[a,b]上一定有最值.
(4)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值.
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函数的最大(小)值PPT，第四部分内容：思想方法
利用数形结合思想与分类讨论思想求二次函数的最值
典例 求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最值.
【审题视角】可变对称轴x=a→与定区间[0,2]的 相对位置关系→结合单调性与图象求解
解:y=(x-a)2-1-a2.
当a<0时,[0,2]是函数的递增区间,如图①.
故函数在x=0处取得最小值-1,
在x=2处取得最大值3-4a.
当0≤a≤1时,结合函数图象(如图②)知,
函数在x=a处取得最小值-a2-1,
在x=2处取得最大值3-4a.
当1<a≤2时,结合图象(如图③)知,
函数在x=a处取得最小值-a2-1,
在x=0处取得最大值-1.
当a>2时,[0,2]是函数的递减区间,如图④.
函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a.
综上,当a<0时,函数在区间[0,2]上的最小值为-1,最大值为3-4a;
当0≤a≤1时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为3-4a;
当1<a≤2时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为-1;
当a>2时,函数在区间[0,2]上的最小值为3-4a,最大值为-1.
方法点睛 1.探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的草图,再根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内.
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函数的最大(小)值PPT，第五部分内容：随堂演练
1.函数y=2/x在区间[2,4]上的最大值、最小值分别是 ( )
A.1,1/2 B.2,1 C.1/2,1/4 D.2,1/2
解析:因为函数y=2/x在区间[2,4]上是减函数,所以其最大值、最小值分别是2/2=1,2/4=1/2.故选A.
答案:A
2.函数y=|x+1|+2的最小值是( )
A.0 B.-1 C.2 D.3
解析:y=|x+1|+2的图象如图所示.
由图可知函数的最小值为2.
答案:C
3.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为( )
A.[0,3] B.[-1,0]
C.[-1,+∞) D.[-1,3]
解析:∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],∴当x=1时,函数y取得最小值为-1,当x=3时,函数取得最大值为3,故函数的值域为[-1,3],故选D.
答案:D
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