《函数的单调性》函数的概念与性质PPT
第一部分内容：课标阐释
1.理解增函数和减函数的定义.
2.理解函数单调性的含义,掌握利用定义证明函数的单调性的方法.
3.能够利用定义或图象求函数的单调区间,能够利用函数的单调性解决有关问题.
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函数的单调性PPT，第二部分内容：自主预习
一、增函数和减函数的定义
1.(1)画出函数f(x)=x,f(x)=x2的图象,观察它们的图象,图象的升降情况如何?
提示:根据列表法的三个步骤:列表→描点→连线得两函数的图象如下.
函数f(x)=x的图象由左到右是上升的;函数f(x)=x2的图象在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的;函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的,在y轴右侧是下降的.
(2)如何利用函数解析式f(x)=x2来描述随着自变量x值的变化,函数值f(x)的变化情况?
提示:在(-∞,0]上,随着自变量x值的增大,函数值f(x)逐渐减小;在(0,+∞)上,随着自变量x值的增大,函数值f(x)逐渐增大.
(3)用x与f(x)的变化来描述当x在给定区间从小到大取值时,函数值依次增大?如果是函数值依次减小呢?
提示:在给定区间上,∀x1,x2,且x1<x2,则f(x1)<f(x2).在给定区间上,∀x1,x2且x1<x2,则f(x1)>f(x2).
(4)增函数的定义中,把“当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)”改为“当x1>x2时,都有f(x1)>f(x2)”,这样可以吗?
提示:可以.增函数的定义:由于当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),即都是相同的不等号“<”,步调一致;“当x1>x2时,都有f(x1)>f(x2)”也是相同的不等号“>”,步调也一致.因此我们可以简称为:步调一致增函数.
2.填表
3.做一做
(1)f(x)=-2x-1在(-∞,+∞)上是___________.(填“增函数”或“减函数”)
(2)f(x)=x2-1在区间[0,+∞)上是___________.(填“增函数”或“减函数”)
答案:(1)减函数 (2)增函数
二、函数的单调性与单调区间
1.(1)“函数y=f(x)在区间D上是增函数”与“函数y=f(x)的单调递增区间为D”一样吗?
提示:不一样.“函数y=f(x)的单调递增区间为D”,说明区间D是函数y=f(x)的所有单调递增区间;而“函数y=f(x)在区间D上是增函数”,只要函数在区间D上递增即可,区间D是整个单调增区间的子集.
(2)函数y= 的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),图象在第一、三象限内分别是单调递减的,能否说函数y= 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞)?
提示:不能.不连续的单调区间必须分开写,中间用“,”或“和”连接,不能用符号“∪”连接.
(3)写一个函数的单调区间时,是否只能写成开区间?
提示:不是.对于某一个点而言,由于它的函数值是一个确定的常数,无单调性可言,因此在写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但对于某些不在定义域内的区间端点,书写时必须去掉,因此,书写单调区间时,不妨约定“能闭则闭,需开则开”.
2.填空
如果函数y=f(x)在区间D上单调递增(或单调递减),那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调递增(或减)区间.
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函数的单调性PPT，第三部分内容：探究学习
确定函数的单调区间
例1 求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是增函数还是减函数:
(1)y=3x-2;(2)y=-1/x.
分析:若函数为我们熟悉的函数,则直接给出单调区间,否则应先画出函数的草图,再结合图象“升降”给出单调区间.
解:(1)函数y=3x-2的单调区间为R,其在R上是增函数.
(2)函数y=- 的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0)及(0,+∞)上均为增函数.
反思感悟 1.函数单调性的几何意义:在单调区间上,若函数的图象“上升”,则函数为增区间;若函数的图象“下降”,则函数为减区间.因此借助于函数图象来求函数的单调区间是直观且有效的一种方法.除这种方法外,求单调区间时还可以使用定义法,也就是由增函数、减函数的定义求单调区间.求出单调区间后,若单调区间不唯一,中间可用“,”隔开.
2.一次、二次函数及反比例函数的单调性:
(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性由系数k决定:当k>0时,该函数在R上是增函数;当k<0时,该函数在R上是减函数.
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函数的单调性PPT，第四部分内容：思维辨析
因混淆“单调区间”和“在区间上单调”两个概念而致错
典例 若函数f(x)=x2+2(a-1)x+4的单调递减区间是(-∞,4],则实数a的取值集合是_________.
错解函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1-a,由于函数在区间(-∞,4]上单调递减,因此1-a≥4,即a≤-3.故实数a的取值集合为{a|a≤-3}.
以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?
提示:错解中把单调区间误认为是在区间上单调.
正解:因为函数的单调递减区间为(-∞,4],且函数图象的对称轴为直线x=1-a,所以有1-a=4,即a=-3.故实数a的取值集合为{-3}.
答案:{-3}
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函数的单调性PPT，第五部分内容：随堂演练
1.若函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(1)<f(2)<f(3),则函数f(x)在(0,+∞)内( )
A.是增函数 B.是减函数
C.先增后减 D.单调性不能确定
解析:1,2,3不是任意取的值,不能作为判断函数单调性的依据.
答案:D
2.函数y=f(x),x∈[-4,4]的图象如图所示,则函数y=f(x)的所有单调递减区间为( )
A.[-4,-2] B.[1,4]
C.[-4,-2]和[1,4] D.[-4,-2]∪[1,4]
答案:C
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