《函数的概念》函数的概念与性质PPT
第一部分内容：课标阐释
1.能够用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念.
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.
3.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.
4.会判断两个函数是否是同一个函数.
5.能正确使用区间表示数集.
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函数的概念PPT，第二部分内容：自主预习
一、函数的概念
1.(1)初中我们已经学习过函数的概念,它是如何用函数描述变量之间的依赖关系的呢?
提示:在一个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定了一个x值,相应地就确定唯一的一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.
(2)教材P60中的问题1,你能得出列车运行0.1 h,0.2 h,0.5 h时列车行进的路程吗?t的变化范围是多少?变量t与变量S之间有什么关系?
提示:列车运行0.1 h,0.2 h,0.5 h时列车行进的路程分别为35 km,70 km,175 km.
其中t的变化范围是0≤t≤0.5.在t的变化范围内,任给一个t,按照给定的关系式,都有唯一的一个路程S与之对应.
(3)教材P61中的问题2与问题1有什么区别?
提示:两个问题中自变量的取值范围不同,从而因变量取值也不相同.
(4)教材P61中的问题3,你能从图中看出大约哪个时刻空气质量最差吗?哪个时刻AQI的值大约为50?
提示:从图中可以看出,大约10:00时空气质量最差.大约8:00和15:00这两个时刻AQI的值大约为50.
(5)教材P61中的问题4,自变量的取值集合是什么?
提示:{2 006,2 007,2 008,2 009,2 010,2 011,2 012,2 013,2 014,2 015}.这是一个数集.
(6)由初中函数定义可知上述问题1~4都是函数,它们有哪些共同特征?
提示:(1)每个问题中的变量均涉及两个非空数集,用A,B来表示;
(2)两个数集间都有一种确定的对应关系,在此关系下,对于数集A中任意一个x,数集B中都有唯一确定的数y和它对应.
2.填表
3.一个函数的构成有哪些要素?起决定作用的是哪些?为什么?
提示:定义域A、对应关系f和值域{f(x)|x∈A},共三个要素.起决定作用的是函数对应关系和定义域,因为函数的值域由函数的定义域和对应关系确定,当两个函数的定义域和对应关系相同时,值域一定相同.
4.在函数的定义中,值域与集合B有怎样的关系?
提示:值域是集合B的子集.
5.新的函数定义与传统的函数定义有什么异同?
提示:两个定义中的定义域与值域的意义完全相同;两个定义中的对应关系实际上也一样,只不过叙述的出发点不同,初中的定义是从运动变化的观点出发,新定义的对应关系是从集合与对应的观点出发.
6.判断正误:
(1)对应关系与值域都相同的两个函数是相等函数.( )
(2)函数的值域中每个数在定义域中都只存在一个数与之对应.
( )
答案:(1)× (2)×
二、区间的概念及表示
1.阅读教材P64相关内容,关于区间的概念,请填写下表:
设a,b∈R,且a<b,规定如下:
2.实数集R及x≥a,x>a,x≤a,x<a如何用区间表示?
提示:
3.判断正误:
(1)所有的数集都能用区间表示.( )
(2)所有的区间都能用数集表示.( )
答案:(1)× (2)√
4.做一做:
用区间表示下列集合:
(1){x|2<x≤4}用区间表示为___________;
(2){x|x>1,且x≠2}用区间表示为___________;
(3){x|x<-3或x≥10}用区间表示为___________.
解析:(1){x|2<x≤4}用区间表示为(2,4].
(2){x|x>1,且x≠2}用区间表示为(1,2)∪(2,+∞).
答案:(1)(2,4] (2)(1,2)∪(2,+∞)
(3)(-∞,-3)∪[10,+∞)
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函数的概念PPT，第三部分内容：探究学习
函数的定义
例1下列对应是实数集R到R上的一个函数的是_________.(只填序号)
①f:把x对应到x;②g:把x对应到7/2x;③h:把x对应到√x;④r:把x对应到x2.
解析:①中对应关系f是R到R上的一个函数;②中对应关系g不是R到R上的一个函数,因为当x=0时,7/2x的值不存在;③中对应关系h不是R到R上的一个函数,因为当x<0时,√x的值不存在;④中对应关系r是R到R上的一个函数.
答案:①④
反思感悟 结合函数的定义,对集合A中任意一个x,判断在集合B中是否有唯一确定的y值与之对应.
变式训练 1集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从A到B的函数的是( )
A.x→y=x/2
B.x→y=x/3
C.x→y=2x/3
D.x→y=√x
解析:x→y=x/2,{x|0≤x≤4},代入表达式得到y∈[0,2],故成立;
x→y=x/3,x∈[0,4]⇒y∈[0"," 4/3],包含于{y|0≤y≤2},故成立;
x→y=2x/3,x∈[0,4]⇒y∈[0"," 8/3],包含{y|0≤y≤2},故不成立;
x→y=√x,x∈[0,4]⇒y∈[0,2],故成立.故选C.
答案:C
区间
例3已知集合A={x|5-x≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A∩B用区间可表示为_________.
解析:∵A={x|5-x≥0},∴A={x|x≤5}.
∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠±3}.
∴A∩B={x|x<-3或-3<x<3或3<x≤5},
即A∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5].
答案:(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]
反思感悟 (1)正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别.(2)用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示.
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函数的概念PPT，第四部分内容：思想方法
用逆向思维解决函数定义域(或值域)问题
典例 已知函数y=(ax"-" 1)/∛(ax^2+4ax+3)的定义域为R,求实数a的取值范围.
分析:把求函数定义域问题转化为方程ax2+4ax+3=0无实根问题.
解:依题意,要使函数有意义,必须ax2+4ax+3≠0.
即要使函数的定义域为R,必须方程ax2+4ax+3=0无实根.
当a=0时,方程ax2+4ax+3=0无实根;
当a≠0时,若方程ax2+4ax+3=0无实根,
则有判别式Δ<0,
归纳总结定义域(或值域)的逆向问题常化为方程或不等式问题.
一般地,(1)ax2+bx+c>0对x∈R恒成立,有a=b=0,c>0或a>0时,Δ=b2-4ac<0.
(2)ax2+bx+c<0对x∈R恒成立,有a=b=0,c<0或a<0时,Δ=b2-4ac<0.
(3)ax2+bx+c=0无实根,有a=0时,b=0,c≠0或a≠0时,Δ<0.
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函数的概念PPT，第五部分内容：随堂演练
1.函数f(x)=√(x+1)/x的定义域是( )
A.(-∞,+∞) B.(-∞,-1]
C.(-1,+∞) D.[-1,0)∪(0,+∞)
解析:要使函数有意义,则{■(x+1≥0"," @x≠0"," )┤解得f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,+∞).故选D.
答案:D
2.(多选题)下列四组中的f(x)与g(x)不是同一个函数的是( )
A.f(x)=√x,g(x)=x/√x B.f(x)=√x,g(x)=√x
C.f(x)=1/2,g(x)=x/2x D.f(x)=x,g(x)=|x|
解析:对于选项A,C,函数的定义域不同;对于选项D,两个函数的对应关系不同.
答案:ACD
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